倍數(shù)問題分為多人相遇和多車相遇，方法是求最小公倍數(shù)，求最小公倍數(shù)可以用因數(shù)分解法或短除法兩種方法來(lái)求解。

　　因式分解法

　　如果是大數(shù)，就可以采用因式分解法，將大數(shù)分解成幾個(gè)因式的乘積，最小公倍數(shù)就為單獨(dú)的最高次連乘，相當(dāng)于求兩個(gè)集合的并集。比如求的最小公倍數(shù)則為短除法。

　　如果是小數(shù)，就可以直接用短除法求最小公倍數(shù)。比如求12,28,30這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，首先這三個(gè)數(shù)有共同的約數(shù)2，得到6,14,15， 這三個(gè)數(shù)之間沒有共同的約數(shù)，但是兩兩之間有共同的約數(shù)，將不能除的直接落下來(lái)，直到三者之間互質(zhì)，最后將短除號(hào)左邊的和下面的全部做乘積，得到的結(jié)果就是這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)為425。

　　例1. 甲每隔4天進(jìn)城一次，乙每隔8 天進(jìn)城一次，丙每隔11天進(jìn)城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要(    )。

　　A.60天            B.180 天           C.54 天            D.162 天

　　【思路】

　　這道題目是多人相遇，所以屬于倍數(shù)問題，可以用求最小公倍數(shù)的方法來(lái)求解。但這里需要注意的是每隔n天實(shí)際上是每n+1天，也就是求5，9，12的最小公倍數(shù)，而不是求4,8,11的最小公倍數(shù)。又由于數(shù)比較小，所以可用短除法來(lái)求最小公倍數(shù)。

　　【解析】

　　由 甲每隔4天進(jìn)一次城，乙每隔8天進(jìn)一次城，丙每隔11天進(jìn)一次城可得甲、乙、丙的周期分別為5,9,12，這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)為180，也就是他們大的周期是180，所以下次相遇至少要180天，正確答案為B選項(xiàng)。

　　例2.有甲、乙、丙三輛公交車于上午8:00 同時(shí)從公交總站出發(fā)，三輛車再次回到公交總站所用的時(shí)間分別為40 分鐘、25 分鐘和50分鐘，假設(shè)這三輛公交車中途不休息，請(qǐng)問它們下次同時(shí)到達(dá)公交總站將會(huì)是幾點(diǎn)？(    ）

　　A.11點(diǎn)整         B.11 點(diǎn)20 分       C.11點(diǎn)40 分      D.12 點(diǎn)整

　　【思路】

　　這是2011年陜西省考的真題，這道題目是多車相遇，所以也屬于倍數(shù)問題，用求最小公倍數(shù)的方法來(lái)求解。甲、乙、丙三輛公交車的回到站所用的時(shí)間分別為40、25和50，他們?nèi)肯嘤龅臅r(shí)間也就是求這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

　　【解析】

　　由 甲、乙、丙三輛公交車的回到站所用的時(shí)間分別為40、25和50，可得甲、乙、丙三輛公交車的周期分別為40、25和50，它們的最小公倍數(shù)為200，也就是他們?nèi)齻€(gè)再次相遇所用的時(shí)間為200分鐘，即3小時(shí)20分鐘，所以相遇時(shí)間是11點(diǎn)20分，正確答案為B選項(xiàng)。

　　由 甲每隔4天進(jìn)一次城，乙每隔8天進(jìn)一次城，丙每隔11天進(jìn)一次城可得甲、乙、丙的周期分別為5,9,12，這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)為180，也就是他們大的周期是180，所以下次相遇至少要180天，正確答案為B選項(xiàng)。

　　最小公倍數(shù)是多個(gè)數(shù)公共倍數(shù)中最小的一個(gè)，約數(shù)問題涉及到約數(shù)和倍數(shù)，最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。雖然經(jīng)常會(huì)提及，但有很多考生對(duì)這一概念不能有準(zhǔn)確的理解，所以我們從最基礎(chǔ)的開始給大家進(jìn)行講解。

　　整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍數(shù)，b叫a的約數(shù)或因數(shù)。如果題目中出現(xiàn)了乘積，我們認(rèn)為是約數(shù)問題。約數(shù)問題的解題方法是先分后湊，分是分解質(zhì)約數(shù)，也就是分解成質(zhì)數(shù)的約數(shù)；湊，根據(jù)題目條件湊數(shù)。

　　例1.  四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為3024，它們的和為(    )。(山東2003)

　　A.26               B.52               C.30               D.28

　　【思路一】

　　題目中出現(xiàn)了乘積，則為約數(shù)問題，根據(jù)先分后湊的方法可以得出答案。分解質(zhì)約數(shù)的時(shí)候可以采用短除法更加方便，最后湊成四個(gè)連續(xù)自然數(shù)。

　　【解析一】

　　由3024=2×2×2×2×3×3×3×7 得

　　3024=6×7×8×9

　　所以6+7+8+9=30，正確答案為C選項(xiàng)

　　【思路二】

　　根據(jù)乘積的尾數(shù)為4，則可推出這四個(gè)數(shù)的尾數(shù)不可能為0或5。

　　【解析二】

　　根據(jù)四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為3024，可知四個(gè)數(shù)的尾數(shù)不可能為0或5，則四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的尾數(shù)為1,2,3,4或6,7,8,9，不論哪種情況，和的尾數(shù)都為0，所以正確答案為C選項(xiàng)。

　　例2. 小明參加福建省2004年“奮進(jìn)杯”中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲了獎(jiǎng)(前10 名)。爸爸問他：“這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽你得了多少分？獲得了第幾名？”小明說：“我的數(shù)學(xué)得分是整數(shù)，分?jǐn)?shù)和我得的名次與我的年齡相乘的積為2910?！睆纳厦娴膶?duì)話中可以推出小明得了第幾名？(  )

　　A. 第一名           B。第二名         C。第三名           D。第四名

　　【思路】

　　題目中出現(xiàn)了乘積，則為約數(shù)問題，根據(jù)先分后湊的方法可以得出答案。分解質(zhì)約數(shù)的時(shí)候可以采用短除法更方便，最后根據(jù)小明參加的是中學(xué)競(jìng)賽，中學(xué)生的年齡一般是12—15歲這一常識(shí)來(lái)湊小明的分?jǐn)?shù)，名次和年齡。

　　【解析】

　　由2910=2×3×5×97

　　得

　　第一種情況：分?jǐn)?shù) 97，名次 2 ，年齡15

　　第二種情況：分?jǐn)?shù) 97，名次 3 ，年齡10

　　第三種情況：分?jǐn)?shù) 97，名次 5， 年齡 6

　　根據(jù)常識(shí)中學(xué)生的年齡一般是12—15歲，可排除第二種和第三種情況，那么只有第一種情況符合要求，小明的分?jǐn)?shù)為97分，名次為第二名，年齡為15歲，所以正確的答案為B選項(xiàng)。

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